Optionen

Grundlegendes zu Optionen

Wie bereits angesprochen, fallen Optionen in die Gruppe der Termingeschäfte. Dabei lassen sie sich in die Kategorie „bedingte Termingeschäfte“ eingliedern. Dem Käufer einer Option wird dabei das Recht zugesprochen
einen bestimmten Basiswert (Aktien, Anleihe, Rohstoff, etc.)

  • zu einem vorher festgelegten Preis (Ausübungspreis)
  • in einem bestimmten Bezugsverhältnis
  • innerhalb einer Bezugsfrist (amerikanisch) oder einem Bezugstag (europäisch)
  • zu kaufen (Call) oder zu verkaufen (Put).

Der Verkäufer einer Option (auch als Stillhalter bezeichnet) muss sich bei Ausübung dem Ausübungsverlangen des Käufers unterordnen. Optionen verbriefen das Recht gegenüber einer Person oder eines institutionellen Emittenten, sie fallen in die Gruppe der Derivate. Der Basiswert kann dabei sehr verschieden sein. Es existieren Optionen sowohl auf Aktien, wie auch auf Anleihen und Rohstoffe.

Grundgeschäftsarten im Optionshandel

Optionen lassen sich in zwei Arten unterscheiden. Zum einen die Kaufoptionen (Call). Sie verbriefen das Recht einen Gegenstand zu vorher vereinbarten Konditionen zu kaufen. Für dieses Recht zahlt der Optionskäufer eine so genannte Optionsprämie. Im Gegensatz dazu berechtigt eine Verkaufsoption (Put) den Käufer einen Gegenstand zu vorher vereinbarten Konditionen zu verkaufen, auch dafür wird eine Optionsprämie gezahlt.
Wird von einem Anleger eine Option angekauft, so nimmt dieser eine Long-Position ein. Verkauft ein Anleger hingegen eine Option, so nimmt dieser eine Short-Position ein. Die möglichen Grundpositionen sehen sie in der folgenden Abbildung.

 

Grundgeschäftspositionen im Optionshandel
Grundgeschäftspositionen im Optionshandel

Der Verkäufer einer Option wird auch als Stillhalter bezeichnet. Verkauft der Stillhalter eine Call-Option, so spricht man vom Stillhalter in Wertpapieren. Bei Ausübung der Option durch den Käufer, ist der Stillhalter in diesem Fall verpflichtet die gewünschten Wertpapiere (Aktien, Anleihen, etc.) zu liefern. Verkauft ein Stillhalter eine Put-Option, so hat der Optionsinhaber die Möglichkeit, Wertpapiere dem Stillhalter anzudienen. In diesem Fall wird der Verkäufer der Option auch als Stillhalter im Geld bezeichnet.
Je nachdem welche Position eingenommen wird, existieren vier verschiedene Grundtypen von Gewinn- und Verlustszenarien. Wir wollen uns dabei im Folgenden auf Aktienoptionen beschränken. Zur Darstellung der Gewinn- und Verlustprofile bedienen wir uns so genannten Hockeystick Diagrammen.

  • Long Call
  • Long Put
  • Short Call
  • Short Put

Darstellung des Verlust-/Gewinnprofils einer Long Call Option
Darstellung des Verlust-/Gewinnprofils einer Long Call Position in einer Option

Darstellung des Gewinn-/Verlustprofil einer Long Put Position in einer Option
Darstellung des Gewinn-/Verlustprofils einer Long Put Position in einer Option

Darstellung des Gewinn-/Verlustprofils in einer Short Call Position in einer Option
Darstellung des Gewinn-/Verlustprofils in einer Short Call Position in einer Option

Darstellung des Gewinn-/Verlustprofil in einer Short Put Position in einer Option
Darstellung des Gewinn-/Verlustprofil in einer Short Put Position in einer Option

Aus den Abbildungen lässt sich erkennen, dass der Optionskäufer (Long-Position) einen maximalen Verlust (Vmax) in Höhe der Optionsprämie (P) erleiden kann, Gewinne sind unbeschränkt. Der Stillhalter (Short-Position) hingegen kann nahezu unbegrenzte Verluste erleiden. Sein maximaler Gewinn ist auf die Vereinnahmung der Optionsprämie beschränkt (Gmax).

Aktienoptionsbewertung

Optionen lassen sich durch diverse Modelle bewerten. Dabei haben sich im Laufe der Jahre Gleichgewichtsmodelle durchgesetzt. Der theoretische Preis einer Option ist dabei von verschiedenen Faktoren abhängig. Zur Bewertung werden der Basispreis, die Volatilität des Basiswertes, das Bezugsverhältnis, die Restlaufzeit und der aktuelle Kurs des Basiswertes berücksichtigt. Jeder Faktor trägt einen Teil zum Preis der Option bei. Je nach Marktlage stärker oder schwächer.

Wertgrenzen von Aktienoptionen

Der Wert einer Call-Option am Verfalltag (europäische Option) hängt maßgeblich vom Aktienkurs des Basiswertes Kt ab, es gilt
WertgrenzeOptionenAm Verfalltag einer Aktienoption, besteht der Wert des Calls in der Differenz zwischen Aktienkurs und Basispreis. Diese Differenz wird auch als „innerer Wert“ bezeichnet. Liegt dabei der aktuelle Aktienkurs unter dem Basispreis, so verfällt die Option wertlos. (Analoges gilt für Put-Optionen, nur ist der Sachverhalt genau umgekehrt gelagert.)
Während der Laufzeit einer Call-Option sind deren Wertgrenzen determiniert. Die Wertuntergrenze wird dabei durch die Differenz aus Aktienkurs und dem Barwert des Basispreises festgelegt.
Für die Wertobergrenze gilt: „Die Wertobergrenze entspricht bei einem Call dem Wert der zugrundeliegenden Aktie, denn das Recht die Aktie in Zukunft zu erwerben, kann nie teurer sein als die Aktie selbst. Der maximale Wert, den ein Call annehmen kann, entspricht folglich gerade dem Aktienkurs.“ (Manfred Steiner/Christoph Bruns; „Wertpapier-Management“; Schäffer-Poeschel Verlag; 8. Auflage; S. 322 ff.)
Mit der Festlegung von Wertober- und Wertuntergrenzen ist nur ein Grundstein für die theoretische Betrachtung der Optionspreisbewertung gelegt. In den folgenden Beiträgen wollen wir uns mit diesem Sachverhalt auseinandersetzen.

Zur Einführung in die Optionspreisberechnug betrachten wir das Binomialmodell.

  • Binomialmodell Optionspreisberechnung (Call)
  • Binomialmodell Optionspreisberechnung (Put)

Bewertung von Kaufoptionen (Calls)

Um eine Bewertung nach dem Binomialmodell durchführen zu können, werden folgende Prämissen vorausgesetzt: Vollkommener Kapitalmarkt ohne Steuern, Transaktionskosten und Einschussleistungen; keine Berücksichtigung von Dividenden- oder Bezugsrechtszahlungen; konstanter risikoloser Zinssatz während der Optionslaufzeit und Möglichkeit von Leerverkäufen; Annahme eines diskreten Aktienhandels; Bei der Bewertung von Aktienoptionen amerikanischer und europäischer Ausprägung bedarf es keiner Unterscheidung bei der Bewertung. „Zwar beinhaltet die Option amerikanischen Typs das zusätzliche Recht der vorzeitigen Ausübung, jedoch besitzt dieses Recht keinen Wert. … Deshalb entsprechen sich die Werte europäischer und amerikanischer Optionen.“ (Manfred Steiner/Christoph Bruns; Wertpapiermanagement; 8. Überarbeitete Auflage; Schäffer-Pöschel Verlag; 2002) Um die Bewertung von Kaufoptionen auf Aktien vollziehen zu können, bietet sich das Binomialmodell an. Dabei wollen wir an dieser Stelle den Einperiodenfall als Einführung betrachten. In diesem Modell existieren nur zwei Zeitpunkte, der Bewertungszeitpunkt t0 und den Zeitpunkt des Verfalls der Option t1. Zur Veranschaulichung sind in der folgenden Grafik zwei Zustandsbäume dargestellt, die den Aktienkurs einer fiktiven Aktie zum Zeitpunkt t0 und zum Zeitpunkt t1 mit zwei Ausprägungen (Ku, Kd) und den dazugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten P zeigt. U und d stellen die so genannten Auf- und Abwärtsfaktoren dar.

Zustandsbäume im Binomialmodell (Einperiodenfall) zur Bewertung von Kaufoptionen (CALL)
Zustandsbäume im Binomialmodell (Einperiodenfall) zur Bewertung von Kaufoptionen (CALL)

Unter der Berücksichtigung der weiter oben genannten Prämissen muss sich ein risikoloses Portfolio zum Zins Rf verzinsen. Es kann ein Portfolio bestehend aus verkauften Kaufoptionen, gekauften Aktien und einen zu Rf aufgenommenen Kredit gebildet werden, dessen Anfangs- und Endwert genau Null beträgt. Die Endwerte der Aktie und des Kredits sind bekannt. Daraus wiederum, lässt sich der Wert eines Calls berechnen. Diese Methode wird im Fachjargon als ´piercing by duplication´ bezeichnet. Es wird ein Arbitrageportfolio zusammengestellt, welches sich mit der Zahlungsstruktur des Calls deckt. Da in der Wirtschaftswissenschaft gleiche Zahlungsströme gleich bewertet werden müssen, ist damit der Wert des Calls festgelegt. An dieser Stelle möchte ich nicht auf alle Details der Call Bewertung eingehen, sondern nur die wichtigsten Punkte nennen. Der Wert des Calls zum Zeitpunkt t0 beträgt:

OptionenCallbewertung1

Dabei ist n die Anzahl der zu verkaufenden Calls, K0 der Aktienkurs im Zeitpunkt t0 und L0 der Barwert des Kredits zum Zeitpunkt t0. Der risikolose Kredit besitz einen Tilgungswert in L1, der sich wie folgt berechnet:

OptionenCallbewertung2

Für den Tilgungswert des Kredites zum Zeitpunkt t1 gilt darüber hinaus:

OptionenCallbewertung3

Dabei ist C1u der Wert des Calls bei gestiegenem Aktienkurs, C1d der Wert des Calls bei gesunkenem Aktienkurs, K1u der gestiegene Aktienkurs am Verfalltag und K1d ein gesunkener Aktienkurs am Verfalltag. Durch Umformung der beiden vorausgegangenen Formeln ergibt sich je nach Szenario folgender Ausdruck für den Barwert des Kredites zum Zeitpunkt t0:

OptionenCallbewertung4

Um die Berechnung des Callwertes vollziehen zu können, muss die Anzahl n der zu verkaufenden Kaufoptionen bekannt sein, die Anzahl kann mit Hilfe des folgenden Ausdrucks bestimmt werden:

OptionenCallbewertung5

Der Wert n wird dabei auch als ´Hedge Ratio´, der Kehrwert von n als Call-Delta bezeichnet. Das Call-Delta gibt dabei an, wie viele Aktien je verkauftem Call im Arbitrageportfolio gehalten werden müssen:

OptionenCallbewertung6

Nun haben wir an dieser Stelle alles zusammengetragen, um den Callpreis bestimmen zu können, dabei ergeben sich die beiden Formeln:

OptionenCallbewertung7

Mit Hilfe dieser Formeln lässt sich der Preis eines Calls bestimmen. Dieses Modell lässt sich nun auf einen mehrperiodenfall Ausweiten. Dabei wird der Zustandsbaum bei jeder Periode erweitert. Haben wir im Fall einer Periode lediglich zwei mögliche Endzustände, so ergeben sich nach zwei Perioden bereits vier, nach drei Perioden acht Pfade. Die Berechnungen werden an dieser Stelle sehr aufwendig und erbringen eher wenig praktischen Nutzen. Sie sind für das Verständnis der Optionspreisberechnung jedoch hilfreich. Weiterführende Erklärungen finden sich bei (Manfred Steiner/Christoph Bruns; Wertpapiermanagement; 8. Überarbeitete Auflage; Schäffer-Pöschel Verlag; 2002) ab Seite 330 ff. .

Bewertung von Verkaufsoptionen (Put)

Europäischer Put

Europäische Verkaufsoptionen (Put) zeichnen sich durch die mögliche Ausübung an einem vorher festgelegten Stichtag aus. Die Bewertung europäischer Put-Optionen erfolgt dabei analog zu Call-Optionsscheinen. Aus diesem Grund soll an dieser Stelle auf die grundlegende Herleitung der Formel zur Berechnung des Putpreises verzichtet werden.

Formel zur Berechnung des Putpreises.
Formel zur Berechnung des Putpreises.

Rechenbeispiel:

Im Beispiel wird folgendes angenommen: t=9 Monate; K0=100€; B=100€; K1u=120€; K1d=80€; P1u=0€; P1d=20€; Rf=8%/9Monate;

Anzahl zu kaufender Puts:

Beispielrechnung Optionspreis Put
Beispielrechnung Optionspreis Put

→ bei einem Put-Preis von 5,56€ ist kein Arbitragegewinn möglich!

Amerikanischer Put

Für die Bewertung amerikanischer Puts müssen zusätzliche Aspekte Berücksichtigung finden. Die Besonderheit amerikanischer Optionen liegt in ihrer Ausübung. Amerikanische Optionen können über die gesamte Laufzeit hinweg ausgeübt werden. Auf Put-Optionen hat dies besondere Auswirkungen. Wir nehmen an, der Wert der Aktie auf den sich ein amerikanischer Put bezieht fällt auf den Wert Null. In diesem Fall erreicht die Put-Option ihren höchst möglichen Wert. Für den Inhaber einer solchen Option kann sich der Wert nur noch negativ entwickeln (steigender Aktienkurs). Daraus lässt sich ableiten, dass das Recht auf vorzeitige Ausübung für den Inhaber einer amerikanischen Put-Option einen Mehrwert darstellen muss (im Gegensatz zum Besitz einer gleichlautenden europäischen Put-Option). Aus diesem Grund kann eine amerikanische Put-Option nicht unter einer sonst gleichen europäischen Put-Option notieren.